Задача мама испекла пироги
Мама испекла пирожки – три с рисом, три с капустой и один с вишней – и выложила их на блюдо по кругу (см. рис.). Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. На вид все пирожки одинаковые. Маша знает, как они лежали, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Маше наверняка добиться этого, надкусив как можно меньше невкусных пирожков?
Решение
Понятно, что за одно надкусывание Маша справиться с задачей не сможет. Если Маша, например, попробовала пирожок с капустой, то она не в состоянии определить, какой именно из трёх ей достался, а поэтому не сможет с уверенностью найти пирожок с вишней. Покажем, как Маша справится с задачей за два надкусывания.
Пусть Маша надкусила пирожок, а он оказался не с вишней, а с капустой. Тогда она может попробовать пирожок, лежащий через один от него по часовой стрелке. Если это пирожок с вишней, то Маша добилась своего, если с рисом, то искомый пирожок между надкусанными, а если снова с капустой, то надо брать следующий по часовой стрелке, и это точно будет пирожок с вишней.
Если первый пирожок будет с рисом, Маша может действовать аналогично, но двигаться против часовой стрелки.
Замечания
1. Подобным образом Маша может действовать и при большом числе «невкусных» пирожков. Пусть на блюде лежит N холодных пирожков с капустой, потом пирожок с вишней и снова N пирожков с рисом. Маша может заметить средний пирожок с капустой (а если N чётно, то любой из двух средних) и запомнить, сколько пирожков от него надо отсчитать по часовой стрелке, чтобы взять пирожок с вишней. Когда пирожки согреются, Маша пробует один пирожок. Пусть ей не повезло, и он оказался с капустой. Маша тогда может представить себе, что она попробовала тот самый средний пирожок, и отсчитать от него сколько нужно. Если она и впрямь угадала, ей достанется вишня, если же нет, то она поймёт, оказалась ли она ближе к желанному пирожку, чем выбранный средний, или дальше от него. В любом случае неопределенность уменьшилась вдвое: после одной пробы у Маши «под подозрением» осталось не больше половины пирожков с капустой.
2. Много интересного о задачах на количество информации можно узнать из книги К.А. Кнопа «Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам» (М., МЦНМО, 2011).
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Математический праздник |
| год | |
| Год | 2014 |
| класс | |
| Класс | 6 |
| задача | |
| Номер | 5 |
Проект осуществляется при поддержке и .